Müdürün her akşam dolapları kontrol ettiğini bilen 100 öğrenci, bir gün müdürlerine şaka yapmak istiyorlar. Tüm öğrenciler dolapların önünde sıraya giriyor. İlk öğrenci sırayla bütün dolapları açıyor. Ondan sonra ikinci sıradaki öğrenci ise ikinci dolaptan başlayıp ikinin katları olan tüm dolapları kapatıyor. Üçüncü sıradaki öğrenci ise üçüncü dolaptan başlayıp üçün katı olan dolapları açıyor ya da kapatıyor.(Açıksa kapatıyor, kapatıyorsa açıyor)
Aynı işlemi dördüncü sıradaki öğrenci de yapıyor ve dördüncü dolaptan başlayarak dördün katı olan tüm dolapları kapatıyor ya da açıyor. Bu açıp kapatma işlemi, tüm öğrenciler tarafından sırayla gerçekleştiriliyor. Bu sistemle 100 öğrenci de dolapları açıyor ya da kapatıyorlar.
O zaman sorumuza gelelim. Müdür, akşam okuldan çıkmadan önce dolapları kontrol ederken hangi dolapları açık bulacak?
CEVABA GEÇMEDEN ÖNCE BİRAZ ZAMAN TANIYALIM
Ne çıkacağını bilmenin mutluluğuyla cevabı mı görmek istiyorsunuz? Haydi cevaba o zaman:
Bu sorunun cevabı çok karmaşık gelebilir, ancak aslında basit bir mantıkla çözülebilir. Bunun için öncelikle hangi öğrencilerin dolabı açıp kapatacağını matematiksel olarak oturtmak gerekiyor. Mesela 24 numaralı dolabı yakından inceleyelim. İlk öğrenci bu dolabı açmış, ikinci öğrenci ise kapatmıştır. Üçüncü öğrenci de bu dolabı açarken dördüncü öğrenci yine kapatmıştır. Beşinci öğrenci ise dolaba dokunmamıştır.
Bir dolabı ele alış biçimimizi gördünüz. Buna göre aslında dolapların açık veya kapalı olmasının numaraların çarpanlarıyla ilgili olduğunu söyleyebiliriz. Bu örneğimizdeki 24 numaralı dolap 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'üncü sıradaki öğrenciler tarafından değiştirildi.
BUNLARI ANLADIK DA HANGİ DOLABIN AÇIK OLDUĞUNU BURADAN NASIL ANLAYACAĞIZ?
İşte bu noktada matematiğin büyüsü devreye giriyor. 1 numaralı dolabın her zaman açık kalacağını biliyoruz. Diğer öğrenciler ise kendi sıra numaralarının katlarıyla dolapları açtılar ya da kapattılar.
Bu hesaba göre 2 numaralı dolap kapalı olacaktır. Çünkü çift sayılı bir çarpanı vardır. Bu dolabı 1 açarken 2 kapatmıştır. 3 numaralı dolabın da iki çarpanı vardır ve onun da kapalı olması gerekir. Ancak 4 numaralı dolaba geldiğimizde 1, 2 ve 4 olmak üzere toplamda 3 çarpana sahip bir numara bizi karşılar. Tek sayıda çarpanı olan 4'ün açık kalacağını görüyoruz.
Konuyu daha iyi kavradınız mı? Çift sayıda çarpanı olan dolaplar kapalı, tek sayıda çarpanı olan dolaplar ise açık kalacaktır. Yani tek sayılı çarpanı olan dolapları bulduğumuzda sorunun cevabı da ortaya çıkmış olacaktır.
HANGİ DOLAP NUMARALARININ ÇARPANI TEK SAYI OLABİLİR?
Bir sayının çarpan sayısının tek sayı olması için iki çarpanın birbirine eşit olması gerekir. Bu sayılara "tam kare sayılar" denir. Yani tek yapmamız gereken tam kare sayıları bulmak olacak. Bunu da tüm rakamları kendileriyle çarparak bulabiliriz. Yani 2'nin karesi olan 4 açık kalmalıdır. Ya da 3'ün karesi olan 9 açık kalacaktır. Aynı şey 9'un karesi olan 81 için de geçerlidir. Çünkü bu sayıların çarpan sayısı tektir. Bunun sonucunda açık kalan dolapların numarası ise "1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 ve 100" şeklindedir.
